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土屋 卓也ツチヤ タクヤ

所属部署
大学院理工学研究科 数理物質科学専攻
職名教授
メールアドレス
ホームページURLhttp://daisy.math.sci.ehime-u.ac.jp/users/tsuchiya/
生年月日
Last Updated :2017/11/15

研究者基本情報

学歴

  • 1987年09月 - 1990年12月, University of Maryland, Department of Applied Mathematics, Doctor
  • 1981年04月 - 1983年03月, 九州大学, 大学院理学研究科, 数学専攻
  • 1977年04月 - 1981年03月, 信州大学, 理学部, 数学科

経歴

  •   2006年04月, 愛媛大学, 理工学研究科, 教授
  •   2004年02月,  - 2006年03月, 愛媛大学, 理学部数学科, 教授
  •   1990年12月,  - 2004年01月, 愛媛大学, 理学部数学科, 助教授
  •   1983年04月,  - 1990年11月, 九州大学, 理学部数学科, 助手

所属学協会

  • 日本応用数理学会
  • 日本数学会

委員歴

  •   2006年, 日本応用数理学会, 評議員
  •   2004年, 日本応用数理学会, 研究部会「環瀬戸内応用数理研究部会」監事

研究活動情報

研究分野

  • 数学基礎・応用数学, 数値解析学

研究キーワード

    関数の補間とその誤差解析, 偏微分方程式に対する数値計算法, 有限要素法の数学的基礎理論

論文

MISC

書籍等出版物

講演・口頭発表等

  • Approximating surface area by interpolations on triangulations
    小林 健太, 土屋 卓也, SADO Workshop on Numerical Analysis and Related Topics,   2016年11月20日
  • Error Analysis of Lagrange Interpolation on Tetrahedrons
    SCAN2016 International Syposium on Scientific Computing, Computer Arithemtics and Verified Numerics,   2016年09月28日
  • Error Analysis of Lagrange Interpolation on Tetrahedrons
    小林 健太, 土屋 卓也, 日本数学会 秋季総合分科会,   2016年09月18日
  • Error Analysis of Lagrange Interpolation on Tetrahedrons
    小林 健太、土屋 卓也, 第45回 数値解析シンポジウム,   2016年06月09日
  • 四面体上のLagrange補間の誤差評価について
    小林 健太、土屋 卓也, 新潟大学 数値解析ワークショップ,   2016年06月01日
  • 四面体上のLagrange補間の誤差評価について
    小林 健太、土屋 卓也, 第21回 計算工学講演会,   2016年05月31日
  • A Ritz type algorithm of adaptive mesh refinement for the Poisson equations
    Aymeric Grodet, 土屋 卓也, 日本応用数理学会研究部会連合発表会,   2016年03月04日
  • 三角形および四面体上のLagrange補間の誤差評価について
    土屋 卓也, 東北大学情報科学研究科 解析と幾何セミナー,   2016年02月19日
  • A priori error estimates of the Lagrange interpolation on triangles and tetrahedrons
    Workshop on Numerical Methods of Nonlinear Problems,   2016年01月14日, 招待有り
  • Babuska-Azizの定理の拡張について
    小林 健太、土屋 卓也, 第19回環瀬戸内応用数理研究部会シンポジウム,   2016年01月08日
  • ラプラシアンのGreen関数のHadamard変分
    土屋 卓也, 数学協働プログラム 工学と現代数学の接点を求めて(1),   2015年12月22日
  • Babuska-Azizの定理の拡張について
    小林 健太、土屋 卓也, 応用数学合同研究集会,   2015年12月17日
  • Error Estimates for Lagrange Interpolation on Triangles
    Applications of Mathematics 2015,   2015年11月22日
  • 三角形・四面体上のLagrange補間の誤差評価について
    土屋 卓也, 京都大学応用数学セミナー,   2015年10月27日, 招待有り
  • Babusuka-Azizの定理の高次Langrange補間への拡張
    土屋卓也, 第44回 数値解析シンポジウム,   2015年06月10日
  • On the convergence of the classical Jacobi method
    土屋 卓也, シンポジウム「精度保証付き数値計算の最近の展開」,   2015年03月09日
  • First and Second Hadamard Variational Formulae of the Green Function for General Domain Perturbations
    土屋 卓也, シンポジウム「精度保証付き数値計算の最近の展開」,   2015年03月09日
  • 三角形要素上の関数補間とその誤差について
    土屋卓也, 日本応用数理学会 2015年研究部会連合発表会,   2015年03月07日
  • First and Second Hadamard Variational Formulae of the Green Function for General Domain Perturbations
    土屋 卓也, 環瀬戸内ワークショップ,   2015年02月20日
  • 三角形要素上のLagrange補間の誤差について
    小林 健太、土屋 卓也, 九州大学数理学府 QNAセミナー,   2014年11月18日, 招待有り
  • 三角形要素上の補間とその誤差解析について
    土屋卓也, シンポジウム 計算数学の過去・現在・未来,   2014年11月07日
  • Error Estimations of Interpolations on Triangular Elements
    KOBAYASHI Kenta, TSUCHIYA Takuya, SCAN2014,   2014年09月23日
  • 三角形要素上のLagrange補間の誤差について
    小林 健太、土屋 卓也, 第3回岐阜数理科学研究会,   2014年09月07日, 招待有り
  • 三角形上のLagrange補間の誤差について
    小林健太, 土屋卓也, 日本応用数理学会年会講演予稿集(CD-ROM),   2014年08月27日
  • 外接半径条件と有限要素解の収束について
    土屋卓也, 第42回数値解析シンポジウム,   2013年06月14日
  • 有限要素法の諸問題について
    土屋卓也, 東京大学大学院数理科学研究科 数値解析セミナー,   2013年05月07日, 招待有り
  • 一般的な領域摂動によるHadamard変分公式
    土屋卓也, 日本数学会年会,   2013年03月21日
  • 三角形上の1次補間とその誤差解析について
    土屋卓也, 第5回福島応用解析研究集会,   2013年03月01日, 招待有り
  • 外接半径条件と曲面の面積の定義との関係について
    土屋卓也, 第16回環瀬戸内シンポジウム,   2013年01月05日
  • 外接半径条件に関するいくつかの話題について
    土屋卓也, 応用数学合同研究集会,   2012年12月21日
  • 三角形要素上の外接半径条件について
    土屋卓也, 日本数学会秋季総合分科会,   2012年09月21日
  • 古典的ヤコビ法の収束について
    土屋卓也, 環瀬戸内ワークショップ,   2012年09月07日
  • 三角形要素に対する外接半径条件について
    土屋卓也, 計算工学講演会論文集(CD-ROM),   2012年05月29日
  • The Circumradius Condition on Triangular Elements
    土屋卓也, ハンブルグ工科大学 計算機学科 談話会,   2012年04月02日
  • 有限要素法における外接半径条件について
    土屋卓也, ワークショップ「有限体積法の数学的基礎理論の確立II」,   2012年03月15日
  • 三角形要素上の外接半径条件とその応用
    小林健太, 土屋卓也, 日本応用数理学会年会講演予稿集(CD-ROM),   2012年
  • Steiner問題に対する数値解法について
    土屋卓也, ワークショップ「連続体の現象と数理」,   2011年
  • Hadamard変分入門 -- その概念と計算法
    土屋卓也, CoMFoSワークショップ「変分法と領域摂動」,   2010年
  • 幾何的問題に対する有限要素解析の話題
    土屋卓也, 応用数学に関する愛媛ワークショップ,   2010年
  • リーマン多様体上の有限要素法について
    土屋卓也, 第15回 計算工学講演会,   2010年05月26日
  • Hadamard変分とその応用
    土屋卓也, 研究集会:「計算数学・情報数学の現状と展望」,   2009年
  • 微分多様体上での非圧縮性粘性流体の方程式とその数値計算について
    土屋卓也, 研究集会 「数値解析の現状と展望」 公立はこだて未来大学にて,   2009年
  • Hadamard変分を用いた自由境界問題ための反復解法
    土屋卓也, 科学研究費基盤(S)合同研究集会 「流れ問題のための高品質数値解法と計算機援用解析学」,   2008年
  • Hadamard変分とその応用
    土屋卓也, 応用数学に関する愛媛ワークショップ,   2008年
  • Hadamard変分を用いた自由境界問題のための反復解法
    土屋卓也, 2008年度 応用数学合同研究集会,   2008年
  • p-version有限要素法のプログラミング チュートリアル
    土屋卓也, 研究集会「流れ問題のための高品質数値解法と精度保証数値計算」,   2007年
  • Hadamard変分とその自由境界問題への応用
    土屋卓也, 応用数学に関する愛媛ワークショップ,   2006年
  • 自由境界問題に対する反復解法について
    土屋卓也, 日本数学会年会,   2006年
  • 外部領域の等角写像の有限要素近似
    土屋卓也, 日本応用数理学会 環瀬戸内応用数理研究部会,   2006年

受賞

  •   2015年09月, 日本応用数理学会, 日本応用数理学会論文賞, A Babuška-Aziz type proof of the circumradius condition, 私たちの論文 Kenta Kobayashi, Takuya Tsuchiya, A Babuška-Aziz type proof of the circumradius condition (Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics2014, Vol.31, No.1, pp.193-210) について、日本応用数理学会の2015年度論文賞JJIAM部門を受賞しました。詳しくは http://www2.jsiam.org/ronbun-bestauthor2015 をご覧ください。

競争的資金

  • 悪条件な三角形分割を許容する有限要素スキームの探求
    文部科学省, 科学研究費補助金(挑戦的萌芽), 土屋 卓也
  • 有限要素解析における補間誤差の研究
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也
  • 有限要素外積解析の展開
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也, 任意の三角形上での関数の1次補間に関する外接半径条件を発見し、その精度保証付き数値計算を用いない(つまり伝統的な「紙と鉛筆のみ」の)証明を完成させた。その後、外接半径条件が曲面の面積の定義と密接な関係があることを見いだした。曲面がある程度の滑らかさを持ち、さらに内接多面体が外接半径条件をみたせば、内接多面体の面積は曲面の面積に収束することを示した。この定理は、有名な「Schwarz の提灯」の例を含むので、幾何学的な条件としては「best possible」である。
  • 微分多様体上での有限要素解析の展開
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也, この研究では、領域の変動が、その領域上で定義されている楕円型微分方程式の境界値問題の解に、どのような影響を及ぼすかについて調べた。特に、境界値問題の解を用いて定義される汎関数について、領域の摂動に関する第一変分、第二変分を計算する方法を確立した。その結果を用いて、有界領域上のGreen関数の領域の摂動に関する古典的なHadamardの変分公式を、簡便に計算する方法を発見した。また、「ダム問題」と呼ばれる自由境界問題について、解を制御する変分原理の領域の変動に関する第一変分、第二変分を計算し、さらに第一変分を用いた反復解法を新たに提案した。
  • 非線形問題に対する有限要素法とその誤差解析の研究
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也, 平成17年度から18年度にかけて以下の研究を行い、成果を挙げてきた。1.ダム問題と呼ばれる自由境界問題に対する反復スキームの収束について、その理論的枠組みを明らかにした。自由境界問題の解の存在証明では、レベルセット法と呼ばれるアプローチが理論的に優位だが、工学の現場では「試行自由境界法」などと呼ばれるより直感的なアプローチが取られえることが多い。しかし、この方法を数学的に厳密に解析することは難しく、これまでほとんど結果がなかった。この研究では、幾何学の極小曲面の手法を使うことにより、反復スキームの収束証明の枠組みを構築することに成功した(論文[1])。2.ダム問題に対するよりよい反復スキームを設計するためには、自由境界をごくわずか変動させたときに、領域内の流れの速度ポテンシャルがどのように変わるかを定量的に把握する必要がある。このような、境界の摂動に関する変分をHadamard変分というが、最近速度ポテンシャルの第一変分を計算することに成功し、プレプリントにまとめた。T.Suzuki, T.Tsuchiya, Weak formulation of Hadamard variation and its application to the filtration problem.3.有界な区間上の2点境界値問題に対する区分2次の有限要素法の誤差解析を、「山本の原理」と呼ばれる手法を使って非常に精密に行うことに成功した。既存の結果が、たとえば係数関数が不連続な場合にも成り立つことを示すことができた(論文[2])。4.行列の固有値と固有ベクトルを求める古典的Jacobi法の収束について、簡単な証明を見つけプレプリントにまとめた。T.Tsuchiya, A note on convergence and a posteriori error estimate of the classical Jacobi method.
  • 有限要素法の誤差解析の数学的理論
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也, 本年度(2003年度)では,有限要素法の誤差に関する基本的な問題について研究を行い,以下のような成果をあげた.(1)抽象的なHilbert空間,Banach空間において定義される線形方程式に,(非)線形compact項を付け加えた線形,あるは非線形問題を考える.そのような問題に対するGalerkin法の誤差解析が統一的な手法で扱えることを発見した.(2)「ダム問題」といわれる楕円型自由境界問題に対する「試行自由境界法」の厳密解への収束を,極小曲面の手法を使うことにより,数学的に厳密に証明した.(3)1次元有界区間上の2点境界値問題に対する区分2次有限要素法の剛性行列の逆行列の陽的公式を発見した.その公式を用いて,区分2次有限要素法の誤差について徹底的な解析を行った.その結果,主要項の係数関数の連続性や正値性が成り立たなくても,不連続点が有限要素の節点になってさえいたら,知られている誤差限界がすべて成り立つことがわかった.
  • Ritz有限要素法に対する誤差解析
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也, 本研究では,Ritz有限要素法の誤差解析について,いくつかの研究を行い,以下のような成果を得た.まず,単位円から2次元のEuclid空間内のJordan領域への等角写像の有限要素近似について解析を行った.適当な有限要素空間とその中のadmissibleな写像の集合上で,ある汎関数(Dirichlet積分である)を極小にするものを有限要素等角写像と定義した.従来注意されていなかった,領域内の1点の対応が指定された場合(「1点条件」と呼ばれる)について,適当な条件(写像の単調性)を仮定すれば,有限要素等角写像の境界上での同程度連続性を示せることを証明し,それを使って有限要素等角写像が真の等角写像へ収束することを示した.多くの数値例を与え,有限要素等角写像の有用性を示した.特に,境界に角がある場合にも,計画数学の分野で「smoothing method」と呼ばれる手法を導入すれば,角をうまく丸めて計算出来ることを示した.次に,曲面の至るところで平均曲率が与えられた定数となるような曲面(しばしば「H-surface」と呼ばれる)の有限要素近似を考察し,その収束について議論した.極小曲面は,平均曲率が至るところ0となる曲面であるが,研究代表者(土屋)によりその有限要素近似が研究されてきた.今回,その研究を発展させることにより,H-surfaceも同様な手法で計算できることを示した.この場合,3次元のEuclid空間内に与えられたJordan曲線内に張るH-surfaceは,少なくとも2つあることがわかっているが,今回はそのうちの小さい方の解(small solutionと呼ばれる)の有限要素近似を定義し,それの真の解への収束を示した.また,多くの数値例を与えた.
  • 非線形偏微分方程式に対する有限要素解の誤差解析
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也, Euclid空間R^d内の有界領域Ω上で定義された強非線形楕円型境界値問題∫_Ω(a^^→λ,x,u,▽u)・▽υ+f(λ,x,u,▽u)υ=0,∀υ∈H^1_0(Ω)を考察してきた。ただし、a^^→,fは十分滑らかな関数とする。F(λ,u)を、上の問題から定義された非線形作用素とする。問題が発散形式で定義されているので、この問題に対する有限要素解(λ_h,u_h)は、自然に定義される。古典的なKantorovichの定理、あるいは誤差評価付の陰関数定理をもちいて以下のような結果を得た。もし、作用素F(λ,u)の真の解(λ,u)におけるuについてのFre^^'chet微分D_uF(λ,u)が適当な関数空間の間の同型写像になっているならば、真の解(λ,u)のごく近傍に有限要素解(λ_h,u_h)が存在し、さらに標準的な形の誤差評価が成り立つ。この結果は、いくつかの形で拡張することができる。解曲線が返り点(turning point)を持っていても、適当な方法で上と同様な結果を得ることができる。ただしこの場合は、有限要素解の誤差は|λ-λ_h|+||u-u_h||【less than or equal】C||u-II_hU||という形で評価される。また、誤差|λ-λ_h|は誤差||u-u_h||よりはるかに小さいことが、しばしば観察される。このことが数学的にきちんと説明できることを示した。方程式が移流項を持つ場合には、いわゆる風上型の近似スキームを用いる必要があるが、その場合離散化された作用素は微分可能でなくなる。この場合も、もし離散化された作用素が"擬微分"を持てば、上と同様な結果が得られることを示した。
  • 有限要素解に対する後験的誤差評価の研究
    文部科学省, 科学研究費補助金(基盤研究(C)), 土屋 卓也, この一年間、主に、元の微分作用素はフレッシェ微分可能だが、有限要素法等で離散化する際、微分不可能な項が出てくるような非線形境界値問題に対しての、有限要素解の誤差評価を行った。例えば、流体の方程式であるナビア-ストークス方程式を離散化する際に、流れの上流の情報を下流の情報より重視するといった、いわゆる上流型有限要素法においてこのような状況が出てくる。得られた結果は以下の通り:真の解がある程度滑らかなら、それに対する上流型有限要素法により定義される解は、真の解に近くに一意に存在し、適当な誤差評価を満たす。この結果をまとめた次の論文を準備中で、今年度中に投稿する予定である。N.Mastunaga,T.TsuchiyaNon-Differentiable Finite Element Approximations for Parametrized Strongly Nonlinear Boundary Value Problemsまた、1996年12月に龍谷大学で行われた応用数学合同研究集会で、同じ著者、題目で研究発表を行った。
  • 非線形ステファン問題の解の数値的検証
    文部科学省, 科学研究費補助金(奨励研究(A)), 土屋 卓也, 当研究では、まず、1次元線形ステファン問題について解の数値的検証を試みてみた。その方法は、以下のとおり。1次元ステファン問題は熱方程式に対するグリーン関数を用いて積分方程式に変換できる。そして問題の解はその積分方程式の不動点として表わすことができる。よって積分方程式によって定義される作用素により、ある有界な凸閉集合が、それ自身に写されることを計算機によって示せれば、シャウダーの不動点定理により、解の数値的検証が成功したことになる。積分方程式に対しては、積分の値を上下から評価してやることにより、上のプログラムを実行することに成功した。しかし、この方法は一般のステファン問題に適応する は向いておらず、現在より一般的な方法を模索中である。
  • パラメータを含む非線形微分方程式の解の数値的検証
    文部科学省, 科学研究費補助金(奨励研究(A)), 土屋 卓也, この研究では、1次元の有界区間上で定義されたパラメータを含む非線形微分方程式の解の検証を試みた。まず、解曲線が返り点(turnign point)を含む場合を扱った。この場合、もとの方程式は、返り点において不安定なっているので(Frechet部分が可逆でない)、もとの方程式に1次元の別の方程式を付け加え、拡大された方程式が安定になるようにすることを考えた。その拡大された方程式に対し、従来の解の検証を適応することにより、返り点の周辺での解の検証、および返り点そのものの検証をすることができるようになった。次に、分岐点(bifurcation point)の数値的検証についても、同様な手法の適応を試みた。定式化、数値計算ともうまくいったが、証明を検討している段階で、新たな問題点も見つかった。それは、分岐点の数値的検証においては、返り点の検証の際よりもう一つ余分にパラメータを導入する必要があり、そのパラメータが分岐点(の候補者)において、本当に0になっているかどうかを検証しなければならないということである。いろいろ考察した結果、この問題は、次の問題に帰着されるらしいことがわかった:代数方程式の重根の存在を"数値的に"(浮動小数点演算だけを使って)検証できるか?(そのようなアルゴリズムが存在するか?)直感的には、この問題は否定的に解決されることが予想される。しかし、厳密な証明には新たに理論を作る必要があり、今後の問題である。
  • 楕円型偏微分方程式に対する有限要素法の数学的基礎
    基礎科学研究


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